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如何说明∫(0→1)sinx/xDx不是广义积分?

∫[0,1]sinX/X dx ∫[0,1] dx/ln(1-x) ∫[0,1] dx/4x^2-4x+1 都是广义积分,它们都属于无界函数的广义积分,被积函数f(x)至少在积分区域[0,1]中的某一点的邻近是无界的.例如:∫[0,1]sinX/X dx ,X→0+,lim1/x=+∞,因此在X=0处无界∫[0,1] dx/ln(1-x) ,X→0+,lim1/ln(1-x)=+∞,因此在X=0处无界∫[0,1] dx/4x^2-4x+1 ,X→1/2,lim1/4x^2-4x+1=+∞ ,因此在X=1/2处无界

这个广义积分的奇点在0处,也就是说 ∫(0,1]1/sinx dx的情况是怎么样的,通常就要看∫[e,1]1/sinx dx在e->0+的时候是不是极限存在.我们知道在0+附近有sinx<x成立,所以∫[e,1]1/sinx dx>∫[e,1]1/x dx,但是我们知道∫(0,1]1/x dx是发散的,所以∫(0,1]1/sinx dx也是发散的.所以 ∫[-1,1]1/sinx dx 是发散的.

此积分是一个不可能用初等函数表示的积分.也就是说,用初等手段是积不出来的,.唯一的解决办法就是把sinx展成无穷级数,然后逐项积分,其结果当然还是一个无穷级数,精度可人为指定:sinx=∑[n=1,∞](-1)^(n-1)*x^(2n-1)/(2n-1)!∫(sinx/x)dx=∫(1/x)(x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+.)dx=∫(1-x^2/3!+x^4/5!-x^6/7!+.)dx=x-x^3/3(3!)+x^5/5(5!)-x^7/7(7!)+.+c

这个很容易!用(复变函数)里的留数定理就行了代换sinx=e^iz 原积分化为1/2i∫e^iz/z该积分=π/2*(e^iz/z在单极点z=0处的留数)它正好等于π/2关于留数定理可以参看梁昆淼写的(数学物理方法)第三版第80页,或(复变函数论)不过楼主最好是数学系或物理系学生,否则几乎不可能看懂哦,(当然如若不是这两专业的见意别白费力气去看它

sinx/x的积分是没有原函数的,这个不可否认但是不等于说它的广义积分没有结果! 从-∞到+∞的积分是 π 可以用复变函数法 或者 傅里叶变换法得出上述结论,过程不在这里详细写出了.可以使用无穷级数积分,得到一个结果:

根据广义积分的定义,我们需要检查当M→∞时, ∫sinx*xdx的极限是否存在. 但是,根据分部积分可以得到: ∫sinx*xdx=-xcosx+sinx|=-McosM+sinM 当M→∞时,-McosM+sinM极限不存在. 例如,我们取M=2kπ,那么,-McosM+sinM=-2kπ→-∞,当k→∞. 这里选k为正整数.

∫(0到1)xdx=1的平方/2-0的平方/2=1/2,∫(0到1)sinxdx =-cos1-(-cos0)=-cos1+1,紧接着有1>π/3,cosx在(0,π)上递减,所以 cos1<cosπ/3=1/2,则有-cos1+1>1/2,所以∫(0到1)sinxdx较大!

∫sinx/xdx,∫cosx/xdx是积不出来的 即被积函数存在原函数,但是原函数不是初等函数

∫ sinx/x dx是超越积分,没有有限解析式对sinx进行幂级数展开 ∫ sinx/x dx= ∫ [ Σ[n=(0,∝] (-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)! ]/x dx= ∫ [ Σ[n=(0,∝] (-1)^n*x^(2n)/(2n+1)! ] dx= Σ[n=(0,∝] [ (-1)^n/(2n+1)! * ∫ x^(2n)

广义积分 ∫cscxdx = -ln ㄧcscx+ctgxㄧ+ C,x->0 时是无穷大,发散

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