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已知y1=xE^x+E^2x,y2=xE^x+E^%x,y3=E^2x%E^%x+xE^x 是某二阶...

首先考虑这个问题,一个二阶常系数非齐次线性微分方程的解是相应的齐次微分方程的通解加上原方程的一个特解.从而,这三个解中任意两个解的差都是原来的齐次微分方程的通解.显然可以得到e^2x和e^-x是原方程的通解,从而对应旦敞测缎爻等诧劝超滑的齐次方程是y''+y'-y=0.同时xe^x是原方程的一个特解,带入这个齐次方程,计算出结果为(3+x)e^x.从而,这个微分方程为y''+y'-y=(3+x)e^x.

也可以是y2-y3和y2-y1啊,就是说,这三个特解两两减,只要结果不线性相关,那就可以作为齐次方程解得结构,但因为是2阶方程,只需要2个,所以不需要y2-y3.

已经有了 3 个特解,注意分析它们的特征就能够得到结论. y3 = e^x / 2 是 xy'' + 2y'- xy = e^x 的特解; y1 = (x + 2) e^x / (2x) = e^x / x + e^x / 2 = e^x / x + y3 也是 xy'' + 2y'- xy = e^x 的特解,可以知道 【 u(x) = e^x / x 】是齐次部分 xy'' + 2y'- xy = 0 的特解

由题设,并根据二阶线性非齐次微分方程解的结构知:y1-y3=e-x是齐次方程的解,而y2-e-x=xex仍为非齐次方程的特解,进而得:y1-xex=e2x为齐次方程的解,即有e2x与e-2x是相应齐次方程的两个线性无关的解,且xex是非齐次方程的一个特解,故所求方程的通解为:y=xex+C1e2x+C2e-x,从而:y′=ex+xex+2C1e2xC2ex,y″=2ex+xex+4C1e2x+C2ex,消去C1、C2得所求方程为:y″-y′-2y=ex-2xex.

(1)y=e^x时,有y′=e^x(x)′=2xe^x,y′′=2e^x+2x2xe^x =2(1+2x)e^x∴y"-4xy′+(4x-2)y=2(1+2x)e^x-4x2xe^x+(4x-2)e^x=(2+4x-8x+4x-2)e^x=0e^x=0即y=e^x是原方程的解.(2)y=xe^x,则y′=e^x

两个实际上是一样的先看特解部分zhidao,是-xe^(2x),两个都相同之前的通解部分,第一个是c1*e^(3x)+(c2-c1)*e^x,第二版个是c1*e^(3x)+c2*e^x之所以看起来好像不一样,是因为第一个写法是为了让两部分正交,而第二个写法为了看着简便实际上第二种方法就是用c2替代c2-c1,比如第一种方法当c1=3,c2=7时,第二种方法所对应的就权是c1=3,c2=4因为c的取值范围是复数,所以c1可以写成c1^2,可以写成sin(c1),可以写成c1*c2,怎么写都行

非齐次方程特解相减 就是对应的齐次方程通解的向量 y2-y1=e^2x y3-y1=xe^2x 那么显然λ=2是特征方程的重根 即特征方程λ-4λ+4=0 于是对应齐次方程为y''-4y'+4y=0 再代入特解y=x 那么非齐次方程为y''-4y'+4y=4x-4 其通解为y=c1e^2x+c2 xe^2x +x,c1c2为常数

(x-1)y''-xy'+y=-x^2+2x-2 是个非齐次方程 求解一般先求其对应其次方程的通解 其次方程的通解再加上一个非齐次方程的特解就是这个方程的通解y1=x^2, y2=x+x^2, y3=e^x+x^2都是方程(x-1)y''-xy'+y=-x^2+2x-2的解 所以 y2-y1=x y3-y1=e^x 是其对应其次方程(x-1)y''-xy'+y=0的两个线性无关的解 所以(x-1)y''-xy'+y=0的通解就是C1x+C2e^x (x-1)y''-xy'+y=-x^2+2x-2的通解是 C1x+C2e^x+x^2 此题就是靠其次方程和非齐次方程的解得关系的

由特解,r=1是二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程的二重根,所以特征方程是r^2-2r+1=0,所以微分方程是y''-2y'+y=0.

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