lzth.net
当前位置:首页 >> 证明 |ArCtAnA%ArCtAnB|≤A%B >>

证明 |ArCtAnA%ArCtAnB|≤A%B

在这里A应该对应的a对吧。此前提下,不妨设A>B. 因为 arctanx 和 x 都是递增函数,原证明变成了 arctanA-arctanB=B-arctanB 即证函数 x-arctanx 是递增的。对它求导可知导函数为 1-1/(1+x^2)>=0, 故x-arctanx 是递增的,那么原不等式也成立。

设f(x)=arctanx,a

只要证:|arctanb-arctana|/|b-a|≤1 取f(x)=arctanx,则存在ε属于[a,b]使 f'(ε)=(arctanb-arctana)/(b-a)=1/(1+ε^2) 显然|f'(ε)|≤1 故原式成立

只要证:|arctanb-arctana|/|b-a|≤1 取f(x)=arctanx,则存在ε属于[a,b]使 f'(ε)=(arctanb-arctana)/(b-a)=1/(1+ε^2) 显然|f'(ε)|≤1 故原式成立

证明:设f(x)=arctanx,x∈R 则f'(x)=1/(1+x^2) 原题即证 :|arctana-arctanb|≤|a-b| (1)若a=b,命题显然真。 (2)若a≠b,不妨设a

记f(x)=arctanx, f'(x)=1/(x^2+1) 由拉格朗日中值定理 存在t f(b)-f(a)=f'(t)(a-b) 从而 |f(b)-f(a)|=|a-b|*1/(1+t^2) ≤|a-b| 得证

由于(arctanx)'=1/(1+x^2),故在[a.b]上对arctanx使用拉格朗日中值定理,得arctanb-arctana=(b-a)/(1+ξ^2),加绝对值得|arctana-arctanb|=|a-b|/|1+ξ^2|,由于1/|1+ξ^2|≤1,故|arctana-arctanb|≤|a-b|。

你好!见图片第一题:

f(x)=arctanx, 1.)a不等于b由拉格朗日定理f(a)-f(b)=f'(c)(a-b),c属于(a, b). |f(a)-f(b)|/|a-b|=f'(c),f'(c)=1/(1+x^2).f'(c)< or =1 所以|f(a)-f(b)|/|a-b|

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by www.lzth.net
copyright ©right 2010-2021。
内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com