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E∧x和ln x 的公切线

两条:y=lnx的图像在直线y=x上方,为凹函数;y=e^x的图像在直线y=x下方,为凸函数;两者没有交点,所以有两条公切线.

解,令Lnex=Lne^x解的x=1.代入上试了,y=Lne则交点为(1,Lne)

x^(1/x)=e^ln(x^(1/x)) =e^((lnx)/x) 是对数公式

设曲线y=e^x在(a,e^a)处的切线方程为y-e^a=e^a(x-a),曲线y=lnx在(b,lnb)处的切线方程为y-lnb=(x-b)/b,两者重合,<==>e^a=1/b,①且(1-a)e^a=lnb-1,②由①,b=e^(-a),代入②,(1-a)e^a=-a-1,设f(a)=(1-a)e^a+a+1,f'(a)=-ae^a+1,f''(a)=(-1-a)

假设 e^a=x所以 x=e^aln(x)=ln (e^a) =a*ln(e) =a*1=a所以ln(x)=ae^(lnX)=e^(a)=x所以e^lnX等于X

使得直线y=-x垂直平分线段AB.这个证明比较简单y=e^-x与y=ln(-x)关于直线y=-x对称对于y=e^(-x)任一点A(x0,x0),都可以在y=ln(-x)上找到一点B(y0,y0)

ln(1+x)~x前提是x→0,如果对f(x)你要用这个等价无穷小代换的话,必须x→0时候f(x)也→0,但是x→0时,e^x不趋于0,因此ln(1+e^x)与e^x不是等价无穷小.

y'=e^x设 y = e^x 斜率为1的切线方程,切点为(x0,y0)k=y'|(x=x0)=e^x0=1 x0=0切点为(0,1)直线 y=x+1 经过点(0,1)所以y = x + 1 为y=e^x的切线所以 y = e^x与y = x + 1 有1个交点

定义域为(-2,正无穷大)由函数f(x)=e^x-(x+1),得f'(x)=e^x-1,解f'(x)>0,得x>0,所以函数f(x)在区间(-2,0)上递减,在(0,正无穷大)上递增,故f(x)>=f(0),即e^x>=x+1.下面证x+1>=ln(x+2),由函数g(x)=x+1-ln(x+2),求导得

e^(xlnx)=(e^x)e^lnx,又因为e^lnx=x所以答案是xe^x

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