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sinkx的n次求导

就是链式法则y'=(sin^n x)'*cos nx + sin^n x*(cos nx)' =[nsin^(n-1) x*cosx]*cosnx+sin^n x*[n*sin nx]

数学归纳法

取对数降幂lny=x^n(lnx) 两边y'/y=n(x^n-1)lnx+x^(n-1) y'=[n(x^n-1)lnx+x^(n-1)]x^x^n

y=x^2*e^xy'=2xe^x+x^2*e^xy''=2e^x+4xe^x+x^2*e^xy(3)=6e^x+6xe^x+x^2*e^x这里可以看到e^x的系数是0+2+4,xe^x的系数是2+2+2,最后一项总是x^2*e^x经过归纳总结可得:y(n)=n(n-1)e^x+2nxe^x+x^2*e^x

[(sinx)^n]'=n[(sinx)^(n-1)]cosx=ncotx(sinx)^n[(cosx)^n]'=n[(cosx)^(n-1)](-sinx)=-ntanx(cosx)^n

极限为03/4的n次方=3的n次方/4的n次方分母更快地趋向于无穷所以极限为0

y=(x+根号下1+x)^n于是取对数得到lny=n *ln(x+根号下1+x)等式两边求导得到y'/y=n *1/(x+根号下1+x) *(1+x/根号下1+x)=n /根号下(1+x)所以解得y'=n *(x+根号下1+x)^n /根号下(1+x)

导数平方后结果为:1/(1-x^2)=1/(1-x)*(1+x); 进行裂项:=1/2*(1/1-x + 1/1+x); 然后相信你已经能看出来,问题转化为求 1/1-x 和 1/1+x 的n-2阶导数了,这个都是有规律有公式的; 如:{1/1+x}[n-2]=(-1)^n-2 * (n-2)!/(1+x)^n-1令x=0,则为(-1)^n-2 * (n-2)!

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