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y Cosx 的n阶导数

y=cosx y′=-sinx y′′=-cosx y′′′=sinx y′′′′=cosx 当n=4k+1时:y=cosx的n阶导数 = -sinx 当n=4k+2时:y=cosx的n阶导数 = -cosx 当n=4k+3时:y=cosx的n阶导数 = sinx 当n=4k+4时:y=cosx的n阶导数 = cosx

你可以先写几阶,观察规律:一阶:-sinx.二阶:-cosx.三阶:sinx.四阶:cosx.现在发现规律了:四个一循环.所以:n=4k时,导数是cosx.n=4k+1时,导数是-sinx.n=4k+2时,导数是-cosx.n=4k+3时,导数是sinx.

1、用欧拉公式(Euler formula),写出cosx的虚数形式, 然后求导,确实快捷、简单;2、但是四种情况必须写出统一表达式,就得讨论,然后归结起来.3、具体解答如下(如果看不清楚,请点击放大,会非常清楚):

cosx一阶导数=-sinxcosx二阶导数=-cosxcosx三阶导数=sinx由数学归纳法可以证明cosx的n阶导数={-sinx,n=4k-3;-cosx,n=4k-2;sinx,n=4k-1;cosx,n=4k(k∈Z+)}

cos3x = 4(cosx)^3 - 3cosxy = (cosx)^3 = 1/4 * (cos3x) + 3/4 * cosx(cosx)' = -sinx = cos(x+pi/2)(cosx)'' = - cosx = cos(x+2*pi/2)(cosx)n次导 = cos(x + n * pi/2)y(n次导) = 3/4 * cos(x + n*pi/2) + 1/4 * 3^n * cos(3x + n*pi/2)

y'=-sinx=cos(x+π/2)y"=-cosx=cos(x+2π/2)y"'=sinx=cosx(x+3π/2)y""=cosx=cos(x+4π/2).y^n(x)=cos(x+nπ/2)

解:y=xcosx y`=cosx-xsinx y``=-2sinx-xcosx y```=-3cosx+xsinx y````=4sinx-xcosx 于是 y(n)=nsin(x+nπ/2)+xsin[x+(n+1)π/2]

由公式可以知道,y=cosx的n阶导数 为y^(n)=cos(x+nπ/2) 那么这里的y=cosnx,每求导一次之后,就多乘以一个n 所以其n阶导数y^(n)=n^n *cos(x+nπ/2)

y=(cosx)^2 y' = -2cosxsinx= -sin2x y''= -2cos2x y'''= 4sin2x y''''= 8cos2x y'''''=-16sin2x y^(6)= -32cos2x y^(7)= 64sin2x..y^(n)x = (-1)^[(n+1)/2]. 2^(n-1). sin2x if n is odd = (-1)^(n/2) . 2^(n-1) . cos2x if n is even

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